代表作 [Zhang 2011] 内容简介

[Zhang 2011] Counting Carmichael numbers with small seeds,  Mathematics of Computation, 80:273 (2011), 437-442.  ABSTRACT

内容简介 ： 记C_s为由前s个素数(无重复)为种子所生成的Carmichael 数的集合, 该文描述算法对于 3 ≤ s ≤ 10 ,

求出 |C_s| 等数据, 给出理由支持猜想: log₂|C_s|=2^s(1-o(1)) , 其表明|C_s| 随 s 快速增长. (log₂|C_s| 随 s 成倍增长)

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记b_i为第i个素数. 令A_s为前s个素数的积, P_s = {素数 p: p>b_s, p-1|A_s },

C_s = { n无平方因子, n是P_s 中一些素数的积： A_s| n-1, n-1不等于A_s }.

则C_s 中的每一个数都是Carmichael 数 . 因集合 P_s 和C_s由前s个素数确定, 我们说这些集合由 种子b₁, b₂, ··· b_s 生成.

该文描述算法对于 3 ≤ s ≤ 10 , 求出 |P_s|, |C_s|, 等相关数据. 根据数据迹象, 给出理由支持猜想:

log₂|C_s|=2^s(1-o(1)) ,

其表明|Cs| 随 s  快速增长(log2|Cs|  随 s 成倍增长). 
 
( |C8| =678,687,138;  
|C9| =8, 281, 366, 855, 879, 527; 
|C10| =21, 823, 464, 288, 660, 480, 291, 170, 614, 377, 509, 316)
1956年,ErdÖs 猜测 < x的 Carmichael 数有xa 个，当 x 趋于∞时,a 趋于1. 但这里小于 x的 Carmichael 数随 x 增长很慢. 对于x =10n  (n ≤ 21 ), 小于 x的 Carmichael 数 < x 0.348 .
2007年, Pinch 求出所有小于1021 的 Carmichael 数 , 共 20,138,200 个.
我们的|C8| =678,687,138  已经大于20,138,200,
该文是代表作[Zhang 2015]的“剧前演练”, 是为代表作[Zhang 2015]的诞生做算法和程序准备的.
2021-09-18, 2024-6-18