计算数论 (Computational Number Theory)  是计算机科学与传统数论研究相交叉的新分支, 美国数学评论1985年始建分类号11Yxx . 美国数学会主办的刊物 Mathematics of Computation (原为季刊, 2014年起改为双月刊)是这个方向 (也是整个应用/计算数学) 的国际主流刊物. 计算数论不仅成为数论理论研究的手段, 而且更重要的是推进了数论在计算机科学、信息安全和通信等领域的应用. 整数分解(11Y05) 和素性测定(11Y11)是计算数论的孪生中心课题, 数学王子高斯在他的天才著怍《Disquisitiones Arithmeticae(算术研究)》一书中就称 其为“重要的有用的.”由于快速计算机的出现和普及和密码学(RSA 公钥密码系统) 等领域的需要, 促进了这个方向的发展, 近几十年来又成为国际数学界和计算机科学界的热点之一. 数论算法及其复杂度分析(11Y16)和计算机辅助研究数论著名问题(11Y35, 11Y40, 11Y50, 11Y55等) 也是计算数论的主要内容. 我国著名数学家清华大学数学系前系主任冯克勤教授在他的大作代数数论 一书(科学出版社,2000)的结语‘二十世纪的数论 : 皇后和仆人'(第402页)中写道: “数论和计算机相结合, 形成了计算数论这个新分支,....目前, 国际上已形成了相当强大的计算数论研究队伍和实验室 ....”

国内不时有年青朋友给我发来电子邮件，询问有关计算数论尤其关于整数分解和素性测定的算法问题. 我认为，要从事有关计算数论尤其关于整数分解和素性测定的算法问题方面的研究, 除了具有大学本科数学分析和高等代数的基本知识外，还应具备以下4个最低必要条件:

1.具备初等数论的基本知识,熟练掌握初等数论中的基本解题技巧,独立做过初等数论中一定数量的习题,感到做初等数论的习题比参加朋友会餐更有味道.

2.具备近世代数(抽象代数)的基本知识，熟练掌握近世代数中的基本解题技巧, 独立做过近世代数中一定数量的习题,感到做近世代数的习题比参加朋友会餐更有味道.

3.有较好的英语阅读水平.

4.熟练掌握一门计算机编程语言(例如 Delphi (其前身是 Pascal)). 2018-05-18 2024-5-18

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上面提到数学王子高斯和他的天才著怍《Disquisitiones Arithmeticae (算术研究)》一书.现摘录高斯的几句名言与诸位品味.

1.“数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇. (Mathematics is the Queen of the Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics.)”

(后来有位数学家对此话评论说: “如果这是真理，我们还可以补充一点：《算术研究》是数论的宪章.”)

（《算术研究》是高斯一生中的巨著。暮年高斯在谈到此书时说：“《算术研究》是历史的财富.” ）

2.“大自然，您是我的女神，我对你的规律的贡献是有限的……（Thou, nature, art my goddess; to thy laws my services are bound....）”

3. 高斯对自己的工作态度是精益求精，非常严格地要求自己的研究成果。他曾说：“宁可发表少，但要好些（Few, but ripe.）”.

4. “给我最大的快乐,不是已懂得知识,而是不断的学习;不是已有的东西,而是不断的获取;不是已经达到的高度,而是不断的攀登.(It is not knowledge, but the act of learning, not possession but the act of getting there, not being but the act of becoming, Which grants the greatest enjoyment)”

5. “二分之一个证明等于0 (The 1/2 proof is equal to 0. )”

6. 高斯在数学领域中的成就是巨大的.后来人们问起他成功的秘诀,他以其特有的谦逊方法回答道“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现.” 为了证明自己的结论，有一次他指着《算术研究》第633页上一个问题动情地说:“别人都说我是天才,别信它!你看这个问题只占短短几行,却使我整整花了4年时间.4年来我几乎没有一个星期不在考虑它的符号问题.”

2023-11-18 2024-5-18