九篇代表作主要工作总概述

九篇代表作主要工作总概述

(本子网页旨在用尽可能少的语句汇总概述九篇代表作的主要工作.更详细描述见以前诸子网页或诸代表作原文.)

1. 用四次和三次剩余为主要工具大幅度降低了ψ₉、ψ₁₀和ψ₁₁的由Jaeschke于1993年用二次剩余为主要工具确定的上界, 并得到了ψ₁₂的一个上界；接着给出 ψ_m (9≤m≤19) 的上界; 据理猜想这些上界就是相关ψ_m (9≤m≤19) 的准确值; 据理猜想 ψ₂₀ 的下界: ψ₂₀> 10³⁶. [Zhang 2001a, Zhang and Tang 2003, Zhang 2005, Zhang 2007]

注：如果知道ψ_m的准确值,至多只需m次Miller测试就能为小于ψ_m的整数 n提供确定型素性证明(准确判断n 是合数还是素数),就是说, Miller测试对于小于ψ_m的整数不再是概率的而是确定的素性测试.（Pomerance 等人于1980 年求出 ψ_1-4 的准确值；Jaeschke于1993年求出 ψ_5-8的准确值,并给出ψ₉、ψ₁₀和ψ₁₁的上界）

2. 通过算法分析和大量数据否定了国际期刊两起对于Miller测试的挑战. [Zhang 2006, Zhang 2010]

3. 引进单参数二次基伪素数和强伪素数概念, 给出基计数函数的计算公式和上界, 基于单参数二次基(强)伪素数提出BPSW测试的单参数二次基版本(单参数二次基测试(OPQBT)),给出了OPQBT的出错概率计算公式和出错概率的上界.从而定量地回答了困惑国际数学界为什么BPSW测试比分开来考虑单个子测试安全得多和为什么很难找到BPSW测试的反例的两个问题. [Zhang 2002]

注：1980年, Baillie、Pomerance、Selfridge 和 Wagstaff 提出双参数 Lucas 测试, 并发现被 Miller测试误认为是素数的合数都不能通过 Lucas 测试,于是提出 BPSW测试,它是一次 Miller 测试和一次双参数 Lucas 测试的组合. 但不明白为什么 BPSW 测试比单独仅用 Miller 测试或 Lucas 测试要安全得多？

1997年, Arnault 指出, 人们对 BPSW测试出错概率尚无准确结果. 1998年, Grantham指出, 找不到 BPSW 测试的反例表明它的出错概率可能低得多.

4. 描述算法对于 3 ≤ s ≤ 10 , 求出一类 Carmichael 数集合C_s的基数| C_s|等数据, 据理提出猜想: log₂|C_s|=2^s⁽^1-o(1)) . 其表明|C_s| 随 s 快速增长 (log₂|C_s| 随 s 成倍增长). [Zhang 2011]

注：1956年,ErdÖs  猜测 < x的 Carmichael 数的个数 C(x) 趋于∞, 当x 趋于∞. 1994年, Pomerance 等人证明了对充分大 x,  C(x) > x^2/7 .

无论在ErdÖs猜想中，还是在Pomerance 等人的定理中，C(x) 随 x 增长得很慢.  2007年,  Pinch 求出 C(10²¹) = 20,138,200.

我们的|C₈| =678,687,138 已经大于C(10²¹)；|C₉| =8, 281, 366, 855, 879, 527;

|C₁₀| =21, 823, 464, 288, 660, 480, 291, 170, 614, 377, 509, 316.

5. 引进最偶数(EDON)概念，给出并证明了关于最偶数的偶因子个数的定理,描述算法生成EDON, 提出并给出理由和数据迹象支持某类Carmichael 数和Williams数集合的基数大小的猜想;求得当前某个Carmichael 数集合所知的最大准确基数：243222 … 969349 (112 位)；表列出1029素数，据理猜测这1029素数至少可生产 2²⁴ ( = 16,777,216) 个Williams数，虽然现在还未找到Williams数的实例. [Zhang 2015]

注：1977年, Williams 问是否存在Carmichael 数 n 具有附加性质：对于 n 的任一素因子 p 都有 p+1 | n+1.Williams 数是 BPSW测试及其单参数二次基版本OPQBT的反例，它们的求出将会推动把BPSW测试和 OPQBT转化为比ψ_m方法有效得多的确定型实用素性测试的进程.

2023-08-08, 2024-01-08