代表作[Zhang 2015]内容简介
[Zhang 2015] Estimating the counts of Carmichael
and Williams numbers with small multiple seeds,
Mathematics of Computation,
84:291 (2015), 309-337. ABSTRACT ABSTRACT Expanded
内容简介: 引进最偶数(EDON)概念，证明了关于最偶数的偶因子个数的定理, 描述算法生成EDON, 给出理由和某种数据迹象支持某类Carmichael 数和 Williams数集合的基数大小的猜想; 求得当前一个Carmichael 数集合所知的最大准确基数; 表列出1029素数，给出理由猜测这1029素数至少可生产 224 ( =
16,777,216) 个Williams数.
记bi为第i个素数. 令
(1)
L = ∏1≤i≤s bi ei
这里s ≥ 2; 对于 i ∈ {1, s}, ei ≥ 1; 对于 1 < i < s , ei ≥ 0 . 记
D (L)
为 L 的正偶因子的集合.
如果对于任一正整数L’
< L 都有 D (L’) < D (L) , 就称正整数L 为最偶数 (Even-Divisors-Optimal Number, 简称 EDON)
令P
(L) = {素数 p: p − 1 ∈ D (L), p ∤ L },
C (L)
= { n无平方因子, 是P (L)中一些素数的积： L | n − 1;
若 L+1 是素数, n – 1 ≠ L },
则每个 n ∈ C (L) 都是 Carmichael.
1977 年 Williams 问是否存在有奇数个素因子的
Carmichael 数
n
具有附加性质： 对于 n 的任一素因子
p 都有
(2) p + 1 | n + 1.
2007年 Echi 省去了条件 “有奇数个素因子” 来 放松 Williams 问题. Echi然后说: “这是一个存在很久的公开问题, 可能没有这样的数.” 因此,他延伸了 Williams问题: 他称一个无平方因子 的合数 n 是 a-Williams 数 如果对于 n 的任一素因子
p 都有 p−a | n−a 和 p+a | n+a, 这里 a一个给定的非零整数. 2010年Bouall`egue 等人 找到了一些 a-Williams 数 n < 108, a ≈ n/3. 与 Echi 向反, 我们相信有无穷多个 Carmichael numbers 满足 (2). 我们称这样的 Carmichael 数 为 Williams 数 (就是 Echi 1 –Williams 数), 虽然至今一个Williams 数还没找到.
令 L 如 (1) 所定义. 令
(2)
L(1) = 2 ∏2 ≤ j ≤ s, j 偶数 bj ej
和
(3)
L(2) = ∏1≤ j ≤ s, j奇数bj ej
令
Q (L)
={素数q : q − 1 ∈ D (L(1)), q + 1 ∈ D (L(2)); q ∤ L},
C’(L) ={ n 无平方因子, 是 Q (L)中一些素数的积：L(1) | n − 1},
和
W (L)
={n ∈ C’ (L)
: L(2) | n + 1} = { n 无平方因子, 是 Q (L)中一些素数的积： L(1) | n – 1, L(2) | n + 1}.
于是W (L) 中的数都是 Williams数.
本文， 我们对有平方因子的L 为 |C (L)| 和 |W (L)| 估值. 本文 §2 称 L 是一个 最偶数 (even-divisors-optimal number (EDON)) 如果它比任一个小于L.的正整数拥有更多个素因子 (定义 2.1). 我们给出理由和某种数值迹象支持如下猜想 , 这里
ω(L) 是 L 的不同素因子个数.
猜想 1. 对于ω(L) = s 的最偶数 L , 我们有 log2 log2| C (L)| = s(1+o(1)).
猜想 2. 对于ω(L) = s 的最偶数 L , 我们有 log2 log2 |W (L)| =s 1/2−o(1).
我们提出两猜想的理由主要基于ErdÖs, Alford, Granville, 和 Pomerance 关于ErdÖs 的Carmichael 数渐进构造法和基于定理 1.
定理1.
对于ω(L) = s 的最偶数 L , 我们有
L < 2 (bs+1)2s 和 |D (L)| = 2s(1+o(1)).
本文§3证明定理1. 基于此定理, §4描述一个算法生成最偶数. §5
给出数值迹象支持猜想 1.并对于有平方因子的L, 根据[ZZX2011]中计算 |C (As)|的算法的改写本, 来计算 |C (L)|. 我们算出 |C (L)|= 243222 … 969349 (112
位), 它是当前一个Carmichael 数集合所知的最大准确基数, 这里, L = 735134400 = 26 · 33 · 52
· 7 · 11 · 13 · 17 是 < 109 的最大最偶数.
§6 描述算法求得关于 |Q (L)|的数据迹象支持猜想2. §7表列出 1029素数 , 给出理由猜测这1029素数至少可生产 224 ( = 16,777,216) 个Williams数 (这些 Williams数就是 BPSW测试 和 OPQBT 的反例). 解释找具体的Williams数的困难所在, 并预测Williams数像什么样子..
2021-09-18, 2022-1-28