本世记第二组代表作
(3篇, 单参数二次基测试及
Williams 数 (One-Parameter
Quadratic-Base Test (OPQBT) and
Williams numbers.关键词:Miller测试,双参数Lucas测试,BPSW测试,单参数二次基伪/概素数和强伪/概素数, 基计数函数, 出错概率计算公式,有限群(域),单参数二次基测试(OPQBT),最偶数(EDON),Carmichael数,Williams数,猜想)
[Zhang 2002] A one-parameter
quadratic-base version of the Baillie-PSW probable prime test, Mathematics
of Computation (ISSN: 0025-5718) 71:240 (2002), 1699-1734. ABSTRACT
[Zhang 2011] Counting Carmichael numbers with small
seeds, Mathematics of Computation (ISSN: 0025-5718),
80:273 (2011), 437-442.
ABSTRACT
[Zhang 2015] Estimating
the counts of Carmichael and Williams numbers with small multiple seeds,
Mathematics
of Computation (ISSN: 0025-5718), 84:291 (2015),
309-337. ABSTRACT ABSTRACT Expanded
背景: 1956年,ErdÖs 猜测 < x的 Carmichael
数有xa 个，当 x 趋于∞时,a
趋于1. 他用的方法是: 给定x,用前 s(x)个素数为种子构造某个 Carmichael
数的集合C s(x). 他猜测
| C s(x)| > xa，当 x趋于∞时,a
趋于1. 但如果给定 s (与x无关), 他没有给出作为s的函数 |Cs|
的值. 1977年, Williams 问是否存在有奇数个素因子的
Carmichael 数 n 具有附加性质： 对于 n 的任一素因子 p 都有 p+1 | n+1. 后来人们把满足如此条件的 Carmichael 数
称为 Williams 数 (虽然自今还未找出Williams 数的具体例子). 1980年, Baillie、Pomerance、Selfridge 和 Wagstaff 提出双参数
Lucas 测试, 并发现被
Miller测试
误认为是素数的合数都不能通过 Lucas 测试, 于是提出著名的
BPSW测试,… 但不明白为什么 BPSW 测试比单独仅用 Miller 测试或 Lucas
测试要安全得多？ 1984年, 基于 ErdÖs构造集合C s(x)的方法, Pomerance在一篇未正式发表的短文中,提出构造一个集合W (x) 的方法,此集合中的每个数都是
BPSW 测试的反例,… ,他构造的反例就是 Williams数, 虽然他在短文中未提及 Williams 1977年的问题. 1997年, Arnault 指出, 人们对 BPSW测试出错概率尚无准确结果. 1998年,
Grantham指出, 找不到 BPSW 测试的反例表明它的出错概率可能低得多. 2007年, Pinch 求出所有小于1021 的
Carmichael 数 , 共 20138200 个 , 其中没有Williams 数, 同年, Echi认为可能不存在Williams 数. 第二组代表作背景的完整版
第二组代表作主要内容: 定义单参数二次基伪素数和强伪素数, 基于单参数二次基(强)伪素数提出BPSW测试的单参数二次基版本,
简称单参数二次基测试(OPQBT). 给出了OPQBT出错概率计算公式和出错概率的上界. 由此OPQBT回答了为什么BPSW测试比分开来考虑单个子测试 安全可靠得多的问题; 回答了为什么很难找到BPSW测试的反例的问题.
指出OPQBT 将是能够通向类似 ψm方法的 确定型素性测试的那些概率素性试中的最佳候选者之一. 提出最偶数(EDON)概念，证明了关于最偶数的偶因子个数的定理, 描述算法生成EDON, 给出理由和某种数据迹象支持某类Carmichael 数和 Williams数集合的基数大小的猜想; 求得当前一个Carmichael 数集合所知的最大准确基数; 表列出1029素数，给出理由猜测这1029素数至少可生产 224 ( =
16,777,216) 个Williams数. （这些Williams数都是BPSW测试和OPQBT的反例）
第二组代表作分篇内容简介(含有奖问题2征解: 10万元人民币只求一个大整数)
最近修改日期: 2022-01-28.